电子光学基础
分辨率
显微镜分辨率由下式决定：
\[
d=\frac{0.61\lambda}{n \sin\alpha} = \frac{0.61\lambda}{\rm{NA}}
\]
- \(\lambda\): 真空波长
- \(\alpha\): 孔径角的一半
- \(n\): 介质折射率
- \(\rm{NA}\): 透镜数值孔径 \(\rm{NA}= n\sin\alpha\)
引入电子
电子的波粒二象性，可以被磁透镜聚焦
\[
\lambda = \frac{h}{mv}
\]
经典情形下（加速电压<500V, 不考虑相对论效应）
\[
eV=\frac12m_0v^2 \\
\lambda = \frac{h}{mv}\approx\frac{h}{m_0v}=\frac{h}{\sqrt{2m_0eV}}\approx\frac{12.25}{\sqrt V}(\mathring{\rm{A}})
\]
一般透射电镜电压在100~200kV，必须考虑相对论效应：
\[
\begin{cases}
eV = mc^2-m_0c^2 \\\\
m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
\end{cases}
\]
\[
\lambda=\frac{h}{\sqrt{2m_0eV\left(1+\frac{eV}{2m_0c^2}\right)}}
\\\approx\frac{12.25}{\sqrt{V(1+10^{-6}V)}}
\]
磁透镜聚焦原理
- 静电透镜：用静电场偏转
- 短磁透镜：非均匀轴对称磁场
短磁透镜有以下优点：
- 改变电流强度即可控制透镜的焦距和放大倍数
- 供电电源电压低，不易击穿
- 像差小
透镜焦距
视为薄透镜
\[
\frac{1}{f_0}=\frac{1}{f_b}=\frac{e}{8mV}\int_{-\infty}^{+\infty}H_z^2 \text{d}z=\frac1f
\]
N匝环形线圈：
\[
H_z=\frac{2\pi R^2 NI}{(z^2+R^2)^{3/2}}\\
\frac1f=\frac{3\pi^3}{16}\frac{e}{mVR}(IN)^2
\]
结论：
- 短磁透镜一定是会聚透镜
- 透镜焦距与磁场强度平方成反比
- 焦距与加速电压和电子速度有关：电压越高，电子速度越大，焦距越长。
- 因此需要加速电压稳定以减小透镜焦距变化，降低色差
电子光学作图成像法
\[
\frac{1}{P}+\frac1B=\frac1f
\]
P：物距 B：像距 F：焦距 M：径向放大率
\[
M=\frac BP=\frac{f}{P-f}=\frac{B}{f}-1
\]
- 像距一定时，放大率反比于焦距
- 物距和像距影响放大率
- \(P\ge2f\) 时 \(M\le1\) ，缩小或不起作用
有效放大倍数：人眼分辨率/电镜分辨率
像差
- 几何像差：不满足旁轴条件引起的，是折射介质几何形状的函数，包括球差、像散、畸变
- 色差：折射介质折射率随电子速度不同而造成的
球差 spherical aberration
透镜边缘部分的折射比旁轴强，导致非旁轴射线提前聚焦。实际最佳聚焦点在理论聚焦点，最小直径的圆斑称为最小漫散圆，位于最佳聚焦点处。
\[
\delta_s=C_s\alpha^3
\]
- \(\delta_s\)：最小漫散圆半径
- \(C_s\)：球差系数，通常相当于焦距大小
- \(\alpha\)：透镜孔径角的一半(rad)
- 对大多数透射电镜 \(C_s\approx3\text{mm}\) ，对高分辨TEM \(C_s<1\text{mm}\)
- 用小孔光阑挡住外围射线可以迅速降低球差（\(\alpha\) 减小），但同时会牺牲分辨率\(\big(d=\frac{0.61\lambda}{n\sin\alpha}\big)\)，需要找到优化平衡
- 现代物镜可以达到\(C_s\approx0.3\rm{mm}\)，\(\alpha\approx10^{-3}\text{rad}\)，对应分辨率\(2\mathring{\text{A}}\)
畸变 distortion
- 和球差相关，边缘放大倍数增大或减小
- 消除：两个畸变相反的透镜抵消
像散 astigmation
- 旁轴电子引起，磁场的旋转对称性被破坏，透镜不同方向的聚焦能力不同，x方向焦点与y方向焦点不重合，在中间位置存在最佳位置获得最小漫散圆（最小变形圆），其余位置均为椭圆
- 原因包括：
- 极靴机械不对称
- 极靴内部被污染
- 极靴材料内部结构成分不均匀
- 对分辨率影响比球差和衍射差大
- 可以用消像散器矫正（引入强度和方位可调的矫正场）
色散 chromatic aberration
- 波长短、能量大的电子焦距大，波长长、能量小的电子焦距小
- 定量表示：最小漫散圆半径\(\Delta r_m\)和焦距差\(\Delta f\)
- 电子速度波动原因：
- 阴极发射初速不同
- 透过能量损失的非弹性散射电子
- 加速电压和励磁电流的波动（关键）
加速电压：
\[
\Delta f=f\frac{\Delta V}{V}
\]
励磁电流：
\[
\Delta f=f\frac{2\Delta I}I
\]
独立共同作用造成的焦距差
\[
\Delta f=f\left[\left(\frac{\Delta V}{V}\right)^2+\left(\frac{2\Delta I}{I}\right)\right]^{1/2}
\]
引起的像斑半径
\[
\Delta r=\alpha f\left[\left(\frac{\Delta V}{V}\right)^2+\left(\frac{2\Delta I}{I}\right)\right]^{1/2}
\]
对强磁透镜，引入色差系数\(C_f\)代替f
\[
\Delta r=\alpha C_f\left[\left(\frac{\Delta V}{V}\right)^2+\left(\frac{2\Delta I}{I}\right)\right]^{1/2}
\]
磁透镜理论分辨率
权衡光阑衍射和球差的影响
\[
r=\sqrt{r_{th}^2+r_s^2}=\left[ \left(0.61\frac{\lambda}{\alpha}\right)^2+\left(C_S\alpha^3\right)^2 \right]^{1/2}
\]
求极小值，求导\(\frac{dr}{d\alpha}=0\)
\[
\alpha_{opt}=0.77\lambda^{1/4}C_s^{-1/4}
\]
目前较准确的公式：
\[
r_{min}=0.43\lambda^{3/4}C_s^{1/4}\\
\alpha_{opt}=1.4\lambda^{1/4}C_s^{-1/4}
\]
Last update:
2023年11月17日